Опубликовано: 23/06/2009

БОЛЬШОЙ ВЗРЫВ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЧЕРЕПАХИ ЗЕНОНА
 

Рассмотрена аналогия космологической модели Большого Взрыва с парадоксом Зенона, описанным в терминах переменной единицы времени. Выдвинуто предположение, что используемая в настоящее время единица времени при переходе к начальному периоду развития Вселенной становится существенно переменной, что также приводит к парадоксу, представляющемуся наблюдателю в виде взрывного процесса, носящего название "Большой Взрыв". Для устранения парадокса предложено ввести натуральную единицу времени исходя из требования постоянства числа укладывающихся в ней элементарных актов движения, в качестве которых взят период колебаний равновесного теплового излучения. Показано, что при ее подстановке в итоговые выражения общей теории относительности момент сингулярности смещается в бесконечность.



PACS: 98.80.-k



Идея Большого Взрыва, рожденная открытием Хаббловского красного смещения, внесла такое смятение в умы потому, что расположила состояние с бесконечными значениями параметров, т.е. сингулярность, в точке временной оси, расположенной на конечном расстоянии от нас. Временная ось, пройдя сквозь эту точку, уходит в такое прошлое, о котором совершенно ничего не известно - в неопределенность. Более естественной представляется классическая картина неопределенности, возникающей при совмещении двух бесконечных величин - такой случай соответствовал бы вынесению точки сингулярности, т.е. момента рождения Вселенной, в бесконечность. Рассматривая такую возможность, обратимся к опыту Черепахи Зенона, которая ухитрилась не дать себя догнать преследователю, двигавшемуся с удвоенной скоростью.

Ситуацию, описанную как парадокс Зенона, можно представить арифметически в двух вариантах. Вариант первый: движение двух тел (Черепахи и Ахиллеса) со скоростями, уменьшающимися по закону геометрической прогрессии таким образом, что их значения на каждом шаге преследования уменьшаются вдвое, а соотношение между ними остается постоянным и равным 1/2. При таком характере движения они оба просто не смогут добежать до точки обгона, ассимптотически приближаясь к ней, но никогда не достигнув - и Ахиллес, конечно, не догонит Черепаху. Но если эту ситуацию перевести из сферы чистой математики в область физики, придется признать, что она требует введения добавочной силы, необходимой для торможения тел, т.е. не эквивалентна ситуации с постоянными скоростями движения, сравнение с которой и рождает парадокс Зенона.

Вариант второй: равномерное движение, при котором торможения не происходит, и добавочные силы не требуются. Но в этом случае переменной должна быть единица времени (время, требуемое Ахиллесу, чтобы преодолеть расстояние до точки, в которой в данный момент находится Черепаха). Эта единица времени должна также уменьшаться в геометрической прогрессии, причем так быстро, что расстояние, преодоленное Ахиллесом, движущимся с постоянной скоростью, через бесконечное количество этих единиц будет меньше, чем расстояние до точки обгона - и Ахиллес снова не догонит Черепаху. Таким образом, Черепаха Зенона показывает нам наглядный пример того, как введение переменой единицы времени может создать парадоксальную ситуацию.

Если мы теперь посмотрим на горячую модель рождения Вселенной, то увидим, что имеет место картина, аналогичная парадоксу Зенона. Эта аналогия ярко проявляется в тех временных интервалах, которыми оперирует космология, рассматривая начальный период существования Вселенной - рассматриваются ее состояния через сотые, тысячные, миллионные доли секунды после начала отсчета (Большого Взрыва), и оказывается, что эти состояния существенно отличаются друг от друга и представляют собой разные этапы ее развития [1]. Одна секунда в те времена и одна секунда сегодня имеют совершенно разное значение в развитии мира - налицо явная ситуация переменной единицы времени. Это видно и из самого смысла понятия времени как меры происходящих в мире изменений. В течение одной миллисекунды в сегодняшней Вселенной и в течение одной миллисекунды в молодой Вселенной, разогретой до многих миллиардов градусов, происходят несоизмеримые количества элементарных движений. Это позволяет утверждать, что используемая нами в настоящее время единица времени "секунда" при переходе к начальному периоду развития Вселенной неадекватно отражает меру количества изменений, т.е. не соответствует самому смыслу понятия времени. Единица времени, определенная через периоды вращения небесных тел или частоты электромагнитных колебаний спектральных линий, не выполняет функции меры изменений в таком большом временном интервале, каким является весь срок существования Вселенной. С этой точки зрения, используемое нами для рассмотрения развития Вселенной время является переменным временем, что, возможно и приводит к парадоксальному результату, представляющемуся нам как "Большой Взрыв".

Какая единица времени смогла бы выполнять роль более адекватной меры количества изменений в течение всего периода развития Вселенной? Естественно предположить, что она должна быть связана с температурными характеристиками. В соответствии с Законом смещения Вина, частота максимума излучения абсолютно черного тела прямо пропорциональна его абсолютной температуре. Можно взять в качестве естественной единицы времени период частоты равновесных тепловых колебаний, соответствующей температуре Вселенной (сегодня это около 3К), или какое-то определенное количество этих периодов (например, для приведения единицы к привычной нам секунде).

Введем понятие натурализованной или "натуральной" секунды, пропорциональной периоду частоты равновесных тепловых колебаний, соответствующему температуре Вселенной, с коэффициентом пропорциональности, обеспечивающим ее привязку к секунде, используемой в настоящее время (для отличия от введенной выше натуральной секунды назовем ее "формальной").

Интервал времени во введенных таким образом натуральных секундах определится выражением:

dtn = (T/T0)*dt; (1)

Здесь: T - равновесная температура Вселенной в рассматриваемый период ее развития, T0 - равновесная температура Вселенной в настоящий момент (около 3К), dt - интервал времени в формальных секундах, dtn - интервал времени в натуральных секундах.

Переход к натуральной секунде не вызовет каких-либо изменений во всех случаях, относящихся к сегодняшнему состоянию мира, т.к. она нормирована на секунду настоящего времени и в настоящем они равны, а скорость их расхождения не превысит 10-8 в столетие.

Преобразуя (1), получим:

dtn / dt= T(t)/T0; (2)

Время в натуральных секундах tn, прошедшее от выраженного в формальных секундах момента t до настоящего момента t0 определится интегралом:

t0 tn = 1/T0 ò T(t)dt; (3) t


Соответственно, полный возраст Вселенной определится выражением (3) при t = 0.

Зависимость T(t) найдем из известных соотношений [1]:

V = c*Z = H*D; (4)

1 + Z = S2 / S1; (5)

T = T0*(1 + Z); (6)

здесь V - скорость некоторого наблюдаемого объекта, D - расстояние до него, Z - красное смещение полученного от него сигнала, S1 и S2 - значения масштабного фактора, T - температура равновесного излучения в момент, соответствующий красному смещению Z, T0 - температура равновесного излучения сегодня, H - постоянная Хаббла, с - скорость света.

Обозначив время движения светового луча от объекта на расстоянии D за Dt (Dt = D/с), учтя, что состояние S2 соответствует моменту прибытия светового луча к наблюдателю (t), а S1 - моменту его отправления (t - Dt), и преобразуя, получим:

S(t) / S(t - Dt) = (t) / (t - Dt); (7)

откуда

T ~ 1/t. (8)

Нормируя на настоящий момент, получим выражение для T(t) в виде:

T(t) = (T0 * t0) / t ; (9)

Подставляя (12) в (3), получим выражение для интервала времени tn в натуральных секундах, прошедшего между моментами t1 и t2 в формальных секундах:


t2 tn = t0 * ò (1/t)dt = t0 * [ ln(t2) - ln(t1)]; (10) t1


Учитывая, что множитель t0 в (10) имеет смысл нормировочного коэффициента, нормирующего натуральную единицу времени на формальную секунду настоящего момента и не зависит от пределов интегрирования, легко увидеть, что время, выраженное в натуральных единицах согласно (10) удовлетворяет условию аддитивности.

Принимая сегодняшний возраст Вселенной условно равным 1/Н, что составит 4 *1017 формальных секунд (13 млрд. лет), получим, что момент, соответствующий началу прозрачности Вселенной для излучения (около 700 тыс. лет от Большого Взрыва [1]), в натуральных единицах времени имел место 129 млрд. лет назад. Этот результат получен на основании выражений (4-6), полученных из непосредственного наблюдения за излучениями, зародившимися в разные моменты этого интервала. Если вступить на более зыбкую почву и предположить, что закон изменения температуры во времени оставался таким же и до указанного выше момента, получим следующую сравнительную хронологию Вселенной в натуральных и формальных единицах времени (Таблица 1):

Таблица 1.

Видим, что в этом случае состояния Вселенной, разделенные в используемых сегодня единицах времени долями секунды, в натуральных единицах времени (введенных нами исходя из требования постоянства количества укладывающихся в единицу времени элементарных изменений), оказываются разделенными десятками и сотнями миллиардов лет, а сам момент Большого Взрыва отодвигается в бесконечность, т.е. фактически исчезает, т.к. процесс бесконечной длительности назвать взрывом уже нельзя.

Разумеется, вступая на зыбкую почву предположений, нельзя быть уверенным в том, что полученные результаты, главным из которых является устранение сингулярности, справедливы, тем более что сразу видны по крайней мере две существенные трудности.

Первая трудность заключается в том, что при введении натуральной единицы времени становятся переменными целый ряд величин, рассматриваемых сегодня в качестве мировых констант и имеющих ненулевую размерность по времени. Однако при этом останутся постоянными некоторые их сочетания, которые могут занять их место в уравнениях физики. Например, следующие сочетания констант, имеющие нулевую размерность по времени (Таблицы 2,3).

Таблица 2. Мировые константы и их сочетания, имеющие нулевую размерность по времени
 

Таблица 3. Мировые константы, выраженные через скорость света и величины с нулевой размерностью по времени
Формула
 

Вторая трудность - предположение о распространении закона изменения температуры T(t)~1/t на период tg0, благодаря которому и достигается вынос сингулярности в бесконечность, противоречит выводам общей теории относительности, утверждающим, что в самом начальном периоде существования Вселенной температура изменялась обратно пропорционально корню квадратному из времени [1,2]. Однако, несмотря на это затруднение, основания для оптимизма все-таки остаются. Заключаются они в следующем.

В выражениях общей теории относительности имеется понятие некой формы изменений, характерная длительность которых (разумеется, в формальных секундах) при приближении к точке сингулярности меняется именно по закону 1/t. Речь идет о колебательном режиме приближения Вселенной к особой точке и о смене "Казнеровских эпох". См. [2] (Глава XIV): "Последовательные серии колебаний сгущаются по мере приближения к особой точке. Между любым конечным моментом мирового времени t и моментом t = 0 заключено бесконечное множество колебаний. Естественной переменной для описания временного хода этой эволюции оказывается не само время t, а его логарифм ln t, по которому весь процесс приближения к особой точке растянут до - ¥ ". Таким образом, даже если закон изменения температуры в приближении к особой точке отличается от 1/t, общая теория относительности говорит о том, что есть другой вид естественных для Вселенной этого периода изменений, подчиняющихся именно такому закону, и это подтверждает закономерность введения естественной единицы времени, связанной с формальным временем согласно (10).

Кроме того, переход к натуральной единице времени может повлиять на выражения общей теории относительности и, соответственно, на ее выводы о характере изменения температуры в начальный период развития Вселенной.

Общая теории относительности дает для этого периода (tg0) следующие выражения для радиуса кривизны пространства и средней объемной плотности энергии, одинаковые для открытой и закрытой моделей Вселенной [2]:

a = (2*a1*c*t)1/2; (11)

e / c2 = 3 / (32*p*G *t2); (12)

где: a - радиус кривизны пространства, a1- константа, c - скорость света, t - время, e- объемная плотность энергии, G - гравитационная постоянная.

При tg0 объемная плотность энергии e в основном определяется интегральной объемной плотностью излучения r, связанной с равновесной температурой по закону Стефана-Больцмана:

r = [(8*p5*k4) / (15* c3*h3)] *T4 ; (13)

Здесь r - интегральная плотность излучения, k - постоянная Больцмана, h - постоянная Планка. Положив e º r , получим:

T(t) = [(45* c5*h3)/ (256*p6*k4*G)]1/4 * t-1/2 » (1,4 *1010) * t-1/2 ; (14)

Обозначим выражение в квадратных скобках как К:

К = (45* c5*h3) / (256*p6*k4*G) = const(t); (15)

тогда

T = К1/4 * t-1/2 . (16)

В формальном времени температура изменяется как t-1/2.

Введение натуральной единицы времени согласно (13) при сохранении неизменными всех других используемых единиц измерения приводит к тому, что некоторые из входящих в это выражение мировых констант становятся переменными. Скорость света, т.е. наибольшая возможная во Вселенной скорость, на понятии о которой и построена вся теория относительности, также будет меняться в натуральном времени, увеличиваясь от 0 до сегодняшнего значения по экспоненте:

c (tn) = c0*exp(-tn/t0); (17)

Здесь: c0 - скорость света в настоящее время, tn - время в натуральных единицах, отсчитываемое от настоящего момента, t0 - возраст Вселенной в формальных единицах.

Формальное время t будет выражаться через натуральное tn согласно выражению

t = t0*exp(-tn/t0); (18)

Приведем все величины в (21) к не зависящим от времени величинам и скорости света согласно Таблице 2:

К = (45*Ati4) / (32*p5*Bti*c*c2); (19)

К1/4 = h* c-1/2; (20)

где

h = Ati * [45/(32*p5*Bti*c)]1/4 = const (tn). (21)

Отсюда:

T = h * c-1/2* t-1/2 ; (22)

Подставляя (17), (18), получим:

T = h* (t0*exp(-tn/t0))-1/2* (c0*exp(-tn/t0))-1/2 = h* (t0*c0)-1/2 *exp(tn/t0) ; (23)

Т.к. tn - время в натуральных единицах, откладываемое от настоящего момента в прошлое, нормируя на настоящий момент tn = 0, получим

T0 = h* (t0*c0)-1/2 ; (24)

откуда окончательно:

T(tn) = T0 *exp(tn/t0). (25)

Аналогично для радиуса кривизны пространства получим:

a(tn) = a0*exp(-tn/t0), (26)



где tn - время в натуральных единицах, откладываемое от настоящего момента в прошлое, a0 - значение радиуса кривизны пространства сегодня.

Проверим, каким образом в натуральном времени изменяется период равновесного теплового излучения t. Из закона смещения Вина

t = b / (c*T); (27)

Подставляя (17) и (25) и учитывая, что постоянная Вина имеет нулевую размерность по времени, получим:

t(tn) = b / [c0*exp(-tn/t0)*T0 *exp(tn/t0)] = b / (c0*T0) = const. (28)

Таким образом, подстановка введенного согласно (10) натурального времени tn в выражения общей теории относительности при tg0 (11,12), показывает экспоненциальную зависимость от tn температуры (23) и масштабного фактора (26), и независимость от tn периода равновесных тепловых колебаний (28), что подтверждает сделанные выше предположения о возможности изменения выражений общей теории относительности при переходе к натуральному времени таким образом, что момент Большого Взрыва отодвигается в бесконечность, сингулярность исчезает, и развитие ранней Вселенной, казавшееся взрывным, "революционным" процессом, оказывается плавным эволюционным развитием, происходящим на протяжении бесконечного времени.


Заключение


Идея Большого Взрыва с точки зрения Черепахи Зенона представляет собой не более чем парадокс, возникший из-за несоответствия философского и формального понятий времени. Сопоставление "горячей" модели развития Вселенной, именуемой моделью "Большого Взрыва", с ситуацией, описанной как парадокс Зенона, показывает, что бесконечная временная ось, основанная на используемой единице времени -"формальной" секунде, - имеет физический смысл лишь на конечном отрезке длины. Если говорить о прошлом - от настоящего момента до точки, именуемой "Большим Взрывом". Это, с одной стороны, показывает некоректность ее использования при приближении к этой точке, а с другой - что за этой точкой не может быть никаких реальных событий, т.е. этапов развития Вселенной до Большого Взрыва. Временная ось, основанная на формальной секунде, допускает эту возможность, что может приводить к парадоксам: "Вселенная может иметь конечный возраст, так как время, насколько мы знаем это сегодня, не всегда существовало" [3]. Используя натуральное время, мы видим, что оно существовало всегда, т.к. с текущего момента до момента в прошлом, когда оно могло бы перестать существовать, должно было бы совершиться бесконечное число элементарных движений (например, периодов равновесных тепловых колебаний), а это невозможно. Или еще: "Сама концепция времени может исчезать" [3]. При рассмотрении в натуральном времени нам не требуется предполагать, может или не может исчезать концепция времени, и размышлять, что это могло бы значить, потому что мы ясно видим, что этот момент никогда не наступит.

Актуальность вопроса об устранения сингулярности также наглядно иллюстрируется предложением Стивена Хокинга о введении мнимого времени. В 4х-мерном пространстве, в котором роль временного измерения играет мнимое время, сингулярность, а следовательно, и временная граница Вселенной исчезает. При этом Хокинг указывает, что в реальном времени сингулярность и граница остаются: "Сингулярностей не будет лишь в том случае, если представлять себе развитие Вселенной в мнимом времени. ... По возвращении же в реальное время, в котором мы живем, обнаруживается, что сингулярности появляются опять" [4]. Но если мнимое время представляет собой некую математическую абстракцию, которую, как указывает Хокинг, "можно рассматривать просто как математический прием для расчета величин, связанных с реальным пространством-временем" [4], то натуральное время, также позволяющее устранить сингулярность, имеет простой и ясный физический смысл, в большей степени соответствующий философскому определению времени как мере происходящих в мире изменений, чем используемая исторически сложившаяся временная шкала.

Даже если рассмотрение в натуральном времени не приведет к получению новых численных данных о ранних этапах развития Вселенной, оно может позволить несколько изменить угол зрения на проблему в целом, яснее увидеть границы, которые трудно увидеть при рассмотрении в формальном времени, устранить разрыв между ее философским и математическим аспектами, устранить глубокое противоречие между научным и обыденным взглядом на проблему, способствующее изоляции науки от общественного сознания и затрудняющее философское осмысление сложных вопросов физики (см., например, [4]), что, на мой взгляд, является одним из важных факторов, способствующих развитию лженаук.



Литература




1. Нарликар Дж. Неистовая Вселенная: Пер. с англ./Под ред. и с предисл. И.Д Новикова. - М.: Мир, 1985. - 256 с., ил. (Jayant Narlikar. Violent Phenomena in the Universe. 1984)
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. II. Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 536 с.
3. Лидсей Дж. Э. Рождение Вселенной / Пер. с англ. -М.: Издательство "Весь Мир", Л 55 2005. - 200с. (James. E. Lidsey. The Bigger Bang. 2000)
4. Хокинг С. Краткая история времени: От большого взрыва до черных дыр / Стивен Хокинг ; [пер. с англ. Н. Смородинской]. - СПб.: Амфора, 2005. - 268 с. - (Серия "Новая Эврика"). (Stephen W.Hawking. A Brief History of Time From the Big Bang to Black Holes. 1988)