Опубликовано: 19/05/2009

МОДИФИКАЦИЯ СТАНДАРТНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ МАСШТАБНОГО ФАКТОРА ОТ ВРЕМЕНИ
 

Предложена модификация стандартной космологической модели за счет  ее построения на метрике, учитывающей неучтенный в стандартной модели аспект зависимости масштабного фактора от времени. Показано, что учет этой зависимости может привести к модели однородной изотропной Вселенной, лишенной противоречий и неопределенностей, свойственных стандартной модели.

 98.80.-k

1. Введение.  Противоречия и неопределенности стандартной модели.

«Конечно, вполне возможно, что эталонная модель частично или полностью неверна.  Однако ее ценность заключается не в ее непоколебимой справедливости, а в том, что она служит основой для обсуждения огромного разнообразия наблюдаемых данных» (С. Вейнберг) [1].  Трудно не согласиться с этой оценкой значения стандартной («эталонной») космологической модели. Однако то же самое, что Вейнберг указывает в качестве ее сильной стороны,  является  ее уязвимым местом - она является основой для обсуждения и интерпретации и в качестве этой основы не должна содержать противоречий и смысловых неопределенностей. Рассмотрим стандартную модель с этой точки зрения.

Вопрос № 1:  Возможно ли в рамках стандартной модели удовлетворить «естественное стремление избежать сингулярности» [1] без введения таких искусственных величин как «мнимое время» [2]? Противоречие №1 между естественным стремлением избежать сингулярности и  невозможностью этого  в  стандартной модели.

Вопрос № 2: Могло ли  быть что-нибудь до «Большого Взрыва» [2]? Вопрос носит мировоззренческий характер, касающийся понятия времени, но в стандартной модели на него нет ответа, т.к. не решен предыдущий вопрос о сингулярности.  Противоречие № 2  между важностью понятия времени и его неопределенностью в рамках стандартной модели.

Вопрос № 3: Как используемая в стандартной модели сопутствуюшая система координат отражается в уравнениях поля, кроме нулевых скоростей, и чем уравнения в этой системе координат, в которой скорости и кинетические энергии равны нулю, отличаются от уравнений в фиксированных координатах, в которых  и скорости, и кинетические энергии  не обращаются в ноль?  

Вопрос № 4:  Имеют ли объекты с наблюдаемым нами красным смещением реальную скорость  относительно наблюдателя  и соответствующую ей  кинетическую энергию? 

Вопрос № 5:  Действует ли во Вселенной Фридмана закон сохранения энергии? Противоречие № 3 между представлением о скоростях удаления наблюдаемых объектов и соответствующими значениями кинетической энергии порождает неопределенность представлений о реальности расширения. Сопутствующая система координат не учитывает кинетическую энергию, что приводит к нарушению закона сохранения энергии. (Это противоречие наглядно проявляется в  равенстве: ∂T^α_σ /∂x_α  + 1/2 ∂g^μν/∂x_σ T_μν = 0.  Эйнштейн указывает [3], что второй член в левой части этого равенства представляет собой выражение для энергии, которая передается веществу от гравитационного поля. Но в  стандартной модели он оказывается равным нулю, что соответствует отсутствию обмена энергией и невозможности развития Вселенной во времени). Отсюда противоречие № 4  - между сопутствующей системой координат и нестационарностью Вселенной.

Вопрос № 6:  Могут ли материальные объекты удаляться от нас со скоростью, превышающей скорость света?  Противоречие № 5 между принципом отностельностит Эйнштейна, лежащим во основе  теории относительности, и следующими из стандартной модели уравнениями, в которых он не выполняется. Порождает неопределенность представлений о реальности расширения  [4,5].  

Вопрос № 7: Можно ли устранить Противоречие № 6 между наблюдательными данными о плотности материи и наблюдательными данными о величине параметра замедления q₀ [1] и Противоречие № 7 об ускоренном расширении Вселенной [6] без введения гипотетических субстанций  «темной энергии» или «энергии вакуума» [7,8])?  

Вопрос № 8:  Может  ли  кривизна  пространства  однородной Вселенной быть нулевой [9] или отрицательной? Противоречие № 8 между бесконечностью пространства нулевой или отрицательлной кривизны и возможностью вырезать из бесконечного пространства, заполненного однородной материей,  шар, удовлетворяющий условию самозамыкания по Шварцшильду.

Вопрос № 9:  Могут ли  наблюдательные данные об анизотропии реликтового излучения [9]  быть объяснены без привлечения понятий о Вселенной нулевой кривизны и инфляционного сценария?  

Возможная анизотропия реликтового излучения задолго до ее открытия объяснялась неоднородностями, связанными с рождением галактик [1]. Есть и другие работы, связывающие анизотропию микроволнового фона с крупномасштабной структурой [10]. Противоречие № 9 между представлением о единственности объяснения на основании инфляционного сценария (который должен расматриваться как гипотетический ввиду отсутствия наблюдаемой «темной энергии», положенной в его основу, и наличием иных объяснений.     

Вопрос № 10:  Корректно ли при определении метрики пространства не учитывать дифференциал масштабного фактора? Противоречие № 10 между  математической необходимостью учета  дифференциала da при выводе выражения для интервала в нестационарной Вселенной, где он имеет ненулевое значение, и не учитываеющим его выражением, (эквивалентным выражению для стационарной Вселенной Эйнштейна [11,12]), положенным в основу стандартной модели . 

Ниже будет сделана попытка  показать, что возможность решения всех поставленных выше вопросов может быть связана с решением последнего из них.

2.  Уравнения поля  стандартной модели.

В основе стандартной модели лежит выражение  для интервала [11]:

ds² = c²dt² - a²[dχ² + sin²χ (sin²θ dφ² + dθ²)];                         (1)

где  a - радиус кривизны пространства (масштабный фактор),  χ - координата  дальности, θ, φ - угловые координаты, с - скорость света. Соответствующие  значения  компонентов метрического тензора:  g₀₀ = 1, g₁₁= - a², g₂₂ = - a² sin²χ, g₃₃ = - a² sin²χ sin²θ.

При этом уравнение гравитационного поля для  закрытой модели имеет вид:

(8πG/3c⁴)_*ε = (1/a²)_*( a'² +1);                                                     (2)

где G - гравитационная постоянная, ε - средняя плотность энергии материи, a' = da/cdt.   Уравнение для открытой модели отличается только знаком в последней скобке:  (a'²-1).

Для закрытой модели это выражение  приобретает вид:       

2a₀/a =  1 + a'²;                                                                          (3)

где 

a₀ = 2GM/3pc² = const.                                                              (4)

Вводя относительную величину масштабного фактора α = a/2a₀,  получаем:

a' = ((1-α)/α)^1/2;                                                                                  (5)

откуда

dt  =  (2a₀/с) dα (α/(1-α))^1/2.                                                   (6)

Выражение (6) определяет динамику развития однородной изотропной закрытой Вселенной. Отметим основные особенности модели согласно выражениям (5,6).

При  α -->0  a'-->∞. Физический смысл производной a' = da/cdt может быть определен как  относительная скорость β = v/c расширения гиперсферы радиусом "а". Принцип относительности Эйнштейна не допускает перемещения материальных тел со скоростями, превышающими скорость света. Т.к. поверхность расширяющейся гиперсферы представляет собой 3-мерное пространство с находящимися в нем материальными объектами, это эквивалентно  условию  β = a' < 1.  В стандартной модели это требование не выполняется.

 Отметим, что для открытой модели уравнение (5) имеет вид

a' = ((1+α)/α)^1/2;                                                                     (7)

откуда следует, что, как и в закрытой модели,  a' -->∞  при α -->0. Но если в закрытой модели  условие (a'<1) выполняется хотя бы при α >1/2, то в открытой модели a'>1 при любых  значениях  α . Ниже  будем рассматривать только закрытую модель.                          

Уравнения Эйнштейна представляют собой математическое выражение закона сохранения полной энергии, включающей энергию материи и гравитационного поля. В выражениях (2),(3) энергия материи заключена в  члене ε - в левой части. Соответственно, члены правой части отражают только энергию гравитационного поля. Но в стандартной  модели член ε включает только энергию покоя материи и не включает  кинетической энергии ее движения в процессе расширения Вселенной. Основанием является принятая  в данной модели сопутствующая система координат, относительно которой скорости материальных объектов принимаются равными нулю. Целесообразность выбора такой системы координат, как известно, связана с условием изотропности, которое требует отсутствия выделенных направлений, что выполняется при нулевом модуле векторов скорости. Но, удовлетворяя условию изотропности, сопутствующие координаты исключают из энергетического члена кинетическую энергию расширения, что не может быть скомпенсировано соответствующими изменениями в других членах уравнения. Таким образом, кинетическая энергия расширения Вселенной в стандартной модели исключена из рассмотрения, что приводит к противоречию с законом сохранения энергии.

3.  Метрика  с учетом зависимости  кривизны от времени.

Приведенное выше выражение для интервала (1) соответствует равномерно искривленному сферическому пространству, полученному Эйнштейном путем введения  воображаемой 4-й координаты и ее последующего исключения, выразив через радиус кривизны пространства. Эта методика была предложена Эйнштейном при  рассмотрении стационарной Вселенной [12]. При этом входящий в выражение для элемента пространственного расстояния дифференциал воображаемой 4-й координаты включает дифференциалы трех пространственных координат и не включает дифференциала радиуса кривизны пространства da, который в стационарной Вселенной равен нулю.

Рассмотрим, как изменится выражение для интервала и соответствующие уравнения поля с учетом явной зависимости a(t). Вводя аналогично [11] понятие о четырехмерном пространстве, получим выражение для элемента пространственного расстояния dl  в виде:

dl² = dx₁² +dx₂² +dx₃² +(a da - x₁ dx₁ - x₂ dx₂ - x₃ dx₃)² / (a²- x₁²- x₂²- x₃²);    (8)

где  x₁ ,x₂ ,x₃ -  декартовы пространственные координаты. Переходя от декартовых координат к полярным r, θ, φ и рассматривая для простоты только радиальные перемещения (θ = 0, dθ = 0),  получим

dl² = dr² + (da - (r/a)_*dr)² / (1 - (r/a)²);                                                             (9)

введем, аналогично [11],  координату χ  из выражения  r = sin (χ). Тогда:

dl² = da² + a²dχ²;                                                                                            (10)

Запишем выражение для интервала:

ds² = c²dt² - dl² = c²dt² - da² - a²dχ² =  c²dt²(1 - da²/c²dt²) - a²dχ² ;                 (11)

    С учетом определения  a'  окончательно получим:

 ds² =   c²dt²(1 - a'²) - a²dχ²  ;                                                                          (12)

 Таким образом, учет явной зависимости a(t) дает выражение для интервала, в котором  значение компоненты метрического тензора g₀₀ = 1 заменяется  на  переменное 

g₀₀ = (1-a'²).                                                                                                   (13)

Подставляя в (1), окончательно запишем:

ds² = c²dt²(1-a'²) - a²[dχ² + sin²χ (sin²θ dφ² + dθ²)].                                        (14)

4. Модель закрытой Вселенной при переменном значении g₀₀.

Уравнения  (2),(3)  при  g₀₀ = (1-a'²)  приобретают  вид

(8πG/3c⁴)_*ε = (1/a²)_*(1 + a'²/ g₀₀) = (1/a²)_*(1 + a'²/(1 - a'²));       (15)

2a₀/a =  1 + a'²/(1-a'²);                                                               (16)

Вводя относительную величину радиуса кривизны α = a/2a₀, получим:

a'  =  da / cdt =  (1-α)^1/2 ;                                                            (17)

dt  =  (2a₀/с) dα /(1-α)^1/2.                                                                       (18)

Отметим особенности  модели, соответствующей выражениям  (17,18):

При  α -->0   a' -->1. Таким образом, учет зависимости радиуса кривизны от времени приводит к тому, что принцип относительности в предложенном выше смысле, в отличие от стандартной модели, выполняется.  

Кинетическая энергия расширения Вселенной в данной модели, как и в стандартной, исключена из рассмотрения (M = M₀ = const), что по-прежнему входит в противоречие с законом сохранения энергии.  

5.  Возможность учета  кинетической энергии.

Рассмотрим Вселенную как  гиперсферу в 4-мерном пространстве, радиус которой увеличивается с относительной скоростью a'. Поскольку вопрос касается Вселенной в целом,  естественно рассматривать его в системе координат, связанной с центром масс, совпадающим с  геометрическим центром гиперсферы. В этой системе координат масса m каждого элемента Вселенной определится выражением частной  теории относительности

m = m₀(1-β²)^-1/2 ;                                                                       (19)

где β - его относительная скорость. Но в рассматриваемой модели все элементы Вселенной движутся относительно центра гиперсферы с одним и тем же модулем относительной скорости, равным a'. Тогда  формула (19)  при β = a' может быть отнесена к массе  любого элемента Вселенной и, соответственно, к массе  M  Вселенной в целом:

M = M₀(1-a'²)^-1/2 = γM₀;                                                             (20)

где символом M₀  обозначена  масса  покоя Вселенной, предполагаемая постоянной,  γ - общепринятое обозначение для (1-β²)^-1/2.  В  данном случае

γ = (1-a'²)^-1/2.                                                                             (21)

Подставляя (20) в  выражение  для константы a₀ (4), видим, что в этом случае a₀ останется  константой, если

a₀ = 2GM₀/3pc².                                                                        ( 22 )

Тогда в  выражении (16)  a₀  заменяется  на  γa₀. Учитывая, что знаменатель выражения в правой части также может быть выражен через γ, получим:

 (2a₀/a)²  =  γ ²;                                                                          (23)

откуда, подставляя (21) получаем:

a'  =  da / cdt =  (1 - α²)^1/2 ;                                                        (24)

dt  =  (2a₀/с) dα /(1-α²)^1/2.                                                                     (25)

Отметим основные особенности  модели  согласно выражениям  (24, 25):

При α-->0 a'-->1.  Принцип относительности  выполняется.  

Кинетическая энергия расширения включена в рассмотрение - уравнения выражают закон сохранения полной энергии, включающей энергию покоя материи, кинетическую энергию ее движения в процессе расширения Вселенной и энергию гравитационного поля. Обмен между этими видами энергии происходит ( ∂g^μν/∂x_σ T_μν ≠ 0 [3]), что соответствует разрешению противоречий № 3 и № 4. 

Отметим, что аналогичное рассмотрение   при  g₀₀ = 1  приводит к  равенству

     α  =  (1- a'²)^-1/2 (1 + a'²)^-1,                                                      (26)

 которое выполняется только при α > 0,9. Что входит в противоречие с горячей моделью Вселенной. 

Таким образом, учет зависимости радиуса кривизны от времени позволяет учесть кинетическую энергию расширения Вселенной и обеспечивает соответствие уравнений, описывающих эволюцию расширяющейся Вселенной, закону сохранения энергии. При исходном  выражении для интервала (g₀₀=1) это оказывается невозможным, т.к. приводит к противоречию с  представлениями о  горячей  истории ранней Вселенной, подтвержденными  всем  опытом  наблюдательной космологии.

 6.    Постоянная  Хаббла и плотность массы в выражениях для  закрытой  Вселенной

По определению постоянной Хаббла H = (1/a)(da/dt). Выразив a  через α  и  da/dt  через  a' ,  получим:

H =  (c/2a₀α) a';                                                                         (27)

a₀ = 2GM₀/3pc² = (2G/3pc²)2p²a³μ = (2G/3pc²)2p²(2a₀α)³μ;     (28)

где μ - плотность массы покоя.

Разделив обе части  на a₀³  и преобразуя, получаем:

(c/2a₀α) =  (8pGμ/3)^1/2 α^1/2 ;                                                      (29)

откуда

H =  (8pGμ/3)^1/2 α^1/2 a';                                                              (30)

Для стандартной  модели  (g₀₀ = 1, M = M₀),  подставляя a'(α)  из  (5), получим:

H =  (8pGμ/3)^1/2 (1-α)^1/2;                                                                       (31)

откуда

3H²/8pGμ = 1 - α .                                                                     (32)

Уравнение (32) может быть получено и непосредственно из уравнений (2-5).

Отмечая, что (3H²/8pG) представляет собой выражение для критической плотности массы покоя (μ_K),  запишем  (32) в виде:

μ_K/μ = 1 - α;                                                                              (33)

 Аналогично получим  выражения, связывающие H, μ и α для других рассмотренных выше вариантов:

Вариант 2:   g₀₀ =  γ ^-2, M = M_0,      a'  = (1-α)^1/2 из  (17), откуда

μ_K/μ =  α (1 - α);                                                                       (34)

Вариант 3:  g₀₀ =  γ ^-2, M = γM₀,  a' = (1-α²)^1/2 из  (24), откуда                                              

μ_K/μ =  α (1 - α²);                                                                                  (35)

При наличии действительных решений уравнения (33-35) позволяют найти значения относительной величины масштабного фактора α, подставляя которые в (29), можем определить величину константы a_0.  В этом случае уравнения (33-35)  позволяют определить основные параметры Вселенной для каждого из рассмотренных вариантов.

Однако в закрытой модели 0<α<1 и поэтому правые части этих уравнений, соответственно, имеют значения < 1,  в то время как  величина  μ_K/μ, т.е. их левые части, согласно имеющимся наблюдательным данным > 1. При таких параметрах ни одно из уравнений (33-35) действительных решений не имеет.    

 7.   Проверка  открытой модели

Для открытой модели выражения (3,5) приобретают вид:

2a₀/a =  -1 + a'²;                                                                         (36)

a' = da / cdt  = ((1+α)/α)^1/2;                                                                 (37)

Поставив (37) в (30), получим аналог выражения (33) для открытого варианта  стандартной модели

μ_K/μ = 1 + α;                                                                             (38)

Это равенство требует выполнении условия μ/μ_K < 1, что и является критерием открытого варианта в стандартной модели.

Однако уже для  варианта 2  этот  критерий  нарушается.  Изменив знак свободного члена в (16), что соответствует открытому варианту,  получим  выражение для a' в виде:

  a'   =   ((1+α)/(1+2α))^1/2;                                                                   (39)

Подставляя в (30), получим равенство

μ_K/μ = α(1+α)/(1+2α);                                                                        (40)

которое  выполняется  не только при μ/μ_K < 1,  но  и  при  μ/μ_K > 1.

Аналогичный результат получается  при рассмотрении варианта 3.

Таким образом, отмеченное выше противоречие между наблюдаемой плотностью материи и полученными равенствами относится не только к закрытой, но и к открытой модели, а следовательно не может быть объяснено неадекватностью закрытой модели и требует дальнейшего рассмотрения.   

 Поскольку  противоречие связано с численным значением критической плотности, определенным из наблюдательных данных, рассмотрим, не могут ли оказывать влияние  на его значение сделанные выше предположения. В выражение для μ_K входят две физические величины - гравитационная постоянная G и постоянная Хаббла H.  Рассмотрим  каждую из этих величин. Для этого потребуется предварительно обсудить вопрос о системах отсчета. 

 8.  Вопрос о системах отсчета

В предложенной модели расширения Вселенной как гиперсферы в 4-мерном пространстве, в котором действительны представления о скорости и уравнения специальной теории относительности,  можно рассматривать  две системы координат:

- система координат, связанная с центром масс Вселенной, расположенным в геометрическом  центре  гиперсферы,

- система координат наблюдателя,  расположенного в какой-то точке  поверхности гиперсферы  и неподвижного относительно этой точки.

В связи с тем, что при этом мы полагаем действительными уравнения частной теории относительности,   а эти системы координат в каждый момент времени движутся по отношению  друг к другу  с  относительной скоростью β = a',  можно утверждать, что скорости течения времени в  них  различны.

К какой из них относится входящее в полученные выше выражения время t?  На первый взгляд, оно должно относиться  к   системе координат неподвижного наблюдателя, поскольку стандартная модель основывается на сопутствующей системе координат, в которой  каждый  объект  3-мерного пространства, в том числе и наблюдатель, связан с этой системой, расширяющейся  вместе со Вселенной, и неподвижен относительно нее.  Но выше мы уже видели, что абсолютизация  представлений о сопутствующей системе отсчета может приводить к нарушению закона сохранения энергии, исключая из рассмотрения кинетическую энергию расширения, и ее использование требует осторожности.  Поэтому заметим, что к сопутствующей системе координат, равномерно растягивающейся вместе с гиперсферой в 4х-мерном пространстве, равным образом привязаны как точка поверхности гиперсферы с расположенным на ней наблюдателем, так и геометрический центр гиперсферы, и  в  этих точках время течет по-разному. К какой из них относится время t?

 Если t есть время в системе координат неподвижного наблюдателя на поверхности гиперсферы (обозначим ее K), то собственное время  t_c ее центра, удаляющегося от наблюдателя с относительной скоростью β = a', определится известным выражением частной теории относительности

dt_c = dt (1- β²)^1/2 = dt / γ;                                                                       (41)

Однако это не имеет какого-нибудь практического значения, т.к. все наблюдения и измерения производятся в одной и той же системе отсчета K, к которой относятся и описывающие Вселенную уравнения. Заметим только, что этому  варианту свойственна отмеченная  выше  противоречивость.

В противоположном случае входящее в уравнения время t относится к системе координат центра масс K_c, с которой связаны часы, удаляющиеся от наблюдателя на поверхности расширяющейся гиперсферы с относительной скоростью β = a'. В этом случае t есть собственное время движущихся часов, находящихся в центре масс, связанных с временем t_obs в системе координат  наблюдателя выражением

dt = dt_obs/γ.                                                                    (42)

При таком подходе мы фактически заменяем сопутствующую систему отсчета, исключающую из рассмотрения кинетическую энергию расширения, инерциальной системой отсчета в 4-мерном пространстве, неподвижной относительно центра масс. При этом в рассмотрение включается энергия расширения, т.к. материя движется относительно системы отсчета со скоростью  β = a'. Условие изотропности 3-мерного мира сохраняется, т.к. расширение происходит в направлении, перпендикулярном всем его пространственным координатам.  

 9. Проверка возможного отличия критической плотности от значения в стандартной модели  за  счет гравитационной постоянной

Принцип относительности требует независимости от системы отсчета одной из мировых констант - скорости света,  но не налагает таких же требований на другие величины, рассматриваемые в качестве мировых констант, в том числе и на гравитационную постоянную, вопрос о постоянстве или непостоянстве которой дискутируется уже более полувека [1].  

Рассмотрим этот вопрос с точки зрения двух систем отсчета - наблюдателя на поверхности гиперсферы (K), и центра масс Вселенной (K_c), расположенного на расстоянии а от наблюдателя в направлении, перпендикулярном всем трем пространственным координатам, и удаляющегося от него с относительной скоростью β = a'.

Мы измеряем  гравитационную постоянную в  системе наблюдателя. В первом из рассмотренных выше случаев, т.е. если  t  в описывающих Вселенную уравнениях есть время в системе отсчета наблюдателя, ее значение равно измеренному. Но если уравнения, лежащие в основе стандартной модели Вселенной, относятся к системе отсчета ее центра масс, мы должны проверить, будет ли  величина гравитационной постоянной иметь  в  системе  координат  центра  масс, т.е. в уравнениях,  значение,  равное измеренному? 

Для этого рассмотрим в обеих системах координат, K и K_c, простые системы взаимодействующих  тел  (величины, относящиеся  к  K_c, будем отмечать индексом _c). 

1). Маятник длиной l и массой m  в поле тяжести планеты массой M на расстоянии R от центра. 

Период колебаний

T = 2π(lR²/GM)^1/2;                                                        (43)

отсюда

G = 4π²lR²/MT²;                                                            (44)

Т.к. плоскость колебаний всегда перпендикулярна вектору скорости взаимного удаления систем отсчета, расстояния l и R не зависят от скорости, т.е. l_с= l, R_с= R,  4π²lR² = const, откуда 

G = const /MT².                                                            (45)

2). Тело массой m, обращающееся вокруг планеты массой M по круговой орбите радиуса R.    

Условие равновесия тела на круговой орбите:

F_g = GmM/R² = F_c =  mω²R;                                          (46)

где ω - угловая скорость,  откуда

G  =  ω²R³/M  =  4π²R³/MT².                                         (47)

Плоскость вращения перпендикулярна скорости удаления систем, R_с= R, откуда  4π²R³ = const,

G = const /MT².                                                            (48)

Рассмотрим с точки зрения закона сохранения момента импульса: Mo = [R x p] = const. Для системы  тел с массами m и M, вращающихся вокруг общего центра инерции по круговым орбитам

|Mo| = Mo = ωR²(Mm/M+m);                                                (49)

где R - расстояние между центрами масс, ω - угловая скорость вращения.

При  M>>m  с учетом  (47)  получим

Mo =  ωR²m  =   m(GMR)^1/2;                                        (50)

откуда

G = Mo² / Mm²R  =  const /Mm².                                              (51)

Теперь рассмотрим соотношения всех величин,  входящих в полученные выражения, в  системах отсчета K и K_c.  Как мы уже отмечали,  l_c = l; R_c = R.  Рассмотрим  T,  M  и  m. 

Считаем, что уравнения стандартной модели относятся к системе координат K_c. Интервал собственного времени этой системы dt связан с интервалом времени dt_obs в системе отсчета наблюдателя  K  как dt = dt_obs/γ (42). Соответственно, период времени T, измеренный в системе отсчета K, будет связан со значением  в  системе  K_c  соотношением

T_c  =  T/γ;                                                                      (52)

Из сравнения выражений (45 и 48) с (51), получаем, что  период T и массы m, M в рассмотренных примерах изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой по одному и тому же закону. Таким образом,

M_c  =  M / γ;                                                                  (53)

Подставив (52, 53) в (48), получим:

     G_с = const / M_сT_с² = γ³ const / MT² =  G γ³.                                   (54)

 10. Соотношение постоянной Хаббла и коэффициента пропорциональности между скоростью и расстоянием

В рассматриваемой модели скорость движения наблюдаемого объекта относительно наблюдателя равна разности векторов скорости расширения гиперповерхности в 4-мерном пространстве в точках расположения наблюдаемого объекта и наблюдателя. Модули  этих  векторов  для любой точки Вселенной в пренебрежении  собственными скоростями тел имеют значение β = a', а направления  перпендикулярны к гиперповерхности. Т.к. мы рассматриваем только радиальные перемещения, (θ = φ = 0),  можем графически изобразить  модель 4-мерного пространства в 2-мерном сечении (Рис. 1).

Рис. 1.  Двумерное сечение 4-мерного пространства с  гиперсферой радиуса «а». Угловая координата χ характеризует удаление точки гиперповерхности от места расположения наблюдателя (черная точка).  Векторы V₀ и V₁   - скорости движения  наблюдателя и наблюдаемого объекта. Вектор V - скорость движения объекта относительно наблюдателя.

Произведя вычитание V₁ и V₀ по формулам релятивистского сложения скоростей, получим выражение для зависимости скорости удаления V объекта от координаты χ в виде:

V²(χ)  =  c²β²_*(2 - 2_*cos(χ) - sin²(χ)_* β²) / (1 - β²_*cos(χ))²;                  (55)

Переходя  к пределу χ-->0, получаем

V (χ)  --> cβχ /(1- β²)^1/2;                                                                     (56)

Выражая расстояние D через угловую координату χ (D = a_*χ) и учитывая, что β = a', получим:

V(D)  = dD/dt =  сa'(D/а)/(1- a'²)^1/2 = (сa'/а) Dγ = HDγ;                                 (57)

H - постоянная Хаббла.

Обозначим коэффициент пропорциональности между наблюдаемой скоростью удаления объектов  и расстоянием  до них  как  H_obs = V_obs/D.  Выразим его через постоянную Хаббла из (57) с учетом  (42):

H_obs  =  (1/D)(dD/dt_obs) =  (1/γD)(dD/dt) = (1/γD) HDγ = H.               (58)

 11.  В какой системе отсчета постоянна  гравитационная постоянная?

Гравитационная постоянная G входит в исходные уравнения поля. Выше мы установили, что ее значение в системе координат центра масс Вселенной отличается от значения в системе координат неподвижного наблюдателя и связано с ним коэффициентом γ³, зависящим от скорости расширения, т.е. изменяющимся во времени. В связи с этим встает вопрос, в какой из этих систем отсчета гравитационная постоянная постоянна?

Если она постоянна в системе отсчета наблюдателя  (G = const), то будет  переменной в системе отсчета центра масс (G_c ≠ const), к которой, как мы предположили, относятся полученные  уравнения. Тогда мы должны учесть переменность этой величины, произведя в исходных  уравнениях  (3,16,23)  замену  G -->G_c =  Gγ³.

Вариант 1 (стандартная модель):   

В этом варианте  β = a' = α^-1/2(1-α)^1/2,  откуда

    γ(α) = (1-a'²)^-1/2  =  α^1/2(2α - 1)^-1/2.                                                               (59)

В этом варианте γ имеет действительные значения только при α > 0,5, что не позволяет его рассматривать, т.к. это противоречит горячей модели Вселенной.

 Вариант 2  (g₀₀ =  γ ^-2, M = M₀) 

Переход G --> G_c в уравнении (16) приведет к замене a₀ --> a_0c=a₀γ³. Перейдя в (16)  от переменной a'  к  переменной γ  и  упрощая, получим:

α = γ.                                                                                      (60)

Полученное равенство действительно  только при α = 1, т.к. при  α < 1   a' ≠ 0, и,  по определению (21),  γ > 1.       

Вариант 3  (g₀₀ =  γ ^-2,  M = M₀γ) 

Рассматривая аналогично, получаем равенство

α = γ²,                                                                                     (61)

которое  также  недействительно  при  всех  α ≠ 1.

Таким образом, предположение о том, что величина G постоянна, приводит к противоречиям и является ошибочным.

Рассмотрим противоположный вариант ( G_c = const, G ≠ const ). В этом случае входящая в уравнения величина гравитационной постоянной G_c остается постоянной величиной, и уравнения (3,16,23) и вытекающие из них зависимости a'(α) и γ(α), определяющие динамику развития Вселенной, остаются неизменными. Но выражения (33-35), связывающие измеренное значение G с текущим значением α, должны содержать зависящее от α  соотношение между G  и  G_c.

Подставим G_c в выражение для μ_K  ( μ_K^c = 3H²/8pG_с ) и выразим его через измеряемое значение G (54).  Это  приводит к замене   μ_K  --> μ_K^c = μ_K/γ³(α). 

Подставляя  в (33-35), получим:

Вариант 1 (стандартный). Не рассматривается, т.к. γ имеет действительные значения только при   α > 0,5.

Вариант 2 (g₀₀ =  γ ^-2,  M = M₀)  

μ_K/μγ³ =  α (1-α);                                                                       (62)

где γ, из (17), зависит от α как

γ(α) = (1-a'²)^-1/2  =  α^-1/2.                                                             (63)

откуда получаем уравнение, связывающее μ и α :

μ_K/μ =  α ^-1/2 (1-α);                                                         (64)

Вариант 3 (g₀₀ =  γ ^{-2, M} = γM₀)  

μ_K/μγ³ =  α (1-α²);                                                         (65)

где γ, из (24),

γ(α) = (1-a'²)^-1/2  =  α^-1;                                                   (66)

откуда

μ_K/μ =  (1-α²)α ^-2.                                                                      (67)

Переходя к общепринятому обозначению μ/μ_K = Ω получим:

α = Ω^1/2 (Ω+1)^-1/2.                                                                      (68)

Отсюда

a₀ = (c/2H) Ω ^-3/2(Ω+1);                                                 (69)

a  = 2a₀α = (c/H) Ω ^-1(Ω+1)^1/2;                                       (70)

На Рис. 2 графически показана  зависимость α (Ω )  по выражению 68 в сравнении с аналогичными кривыми для стандартной модели. Из приведенных кривых видно, что в модифицированной модели Вселенная остается закрытой при любых значениях наблюдаемой плотности материи, что снимает противоречия № 6 и № 8.

На Рис. 3  показана зависимость  a(Ω), рассчитанная по выражению (70).  Расчетное значение для максимальной ожидаемой плотности с учетом темной материи Ω = 0,4 [13] составляет около 40 млрд. св. лет, а для  плотности видимой материи  Ω ≈ 0,03  - более 400 млн. св. лет.  Таким образом, для любых возможных значений средней плотности  радиус кривизны пространства закрытой Вселенной существенно превышает сегодняшний порог видимости,  что также может  способствовать разрешению  противоречия №  8.

Рис. 2.  Зависимость α (Ω) для модицифированной закрытой модели Вселенной (g₀₀ = var)  в сравнении со стандартной моделью (g₀₀ = 1).

Рис. 3. Зависимость  a(Ω)  для модифицированной закрытой модели Вселенной. Темным кружком выделена точка, соответствующая максимальной ожидаемой плотности с учетом темной  материи  Ω = 0,4  [13].  Значение (с/Н) принято равным 13 млрд.св.лет.  

 12. Динамика развития Вселенной в системе отсчета  наблюдателя

Рассмотрим динамику расширения Вселенной в системе отсчета неподвижного наблюдателя, если t - время в системе отсчета центра масс. В этом случае t связано с t_obs  выражением (42).

Подставим  в  выражения  для  dt  во всех рассмотренных выше случаях:    

Вариант 1 (стандартный). Не рассматривается - γ имеет действительные значения при α > 0,5.

Вариант 2 (g₀₀ =  γ ^{-2, M} = M₀)  

dt_obs = (2a₀/с)[dα /(1-α)^1/2] γ;                                         (71)

Подставив  γ  из  (63), получим выражение для dt_obs(α) в виде:

dt_obs = (2a₀/с) dα / [α^1/2(1-α)^1/2];                                     (72)

Вариант 3 (g₀₀ =  γ ^{-2, M} = M₀γ) 

dt_obs = (2a₀/с) [dα /(1-α²)^1/2] γ;                                        (73)

Подставив γ  из (66), получим выражение для dt_obs(α)  в виде:

dt_obs = (2a₀/с) dα / [α (1-α²)^1/2];                                     (74)

Интегрируя полученные выше дифференциальные зависимости, получим  выражения:  

Вариант 2 (g₀₀ =  γ ^{-2, M} = M₀)  

α(τ)     =  1- (τ_obs/2)²;                                                       (75)

α(τ_obs) =  cos²(τ_obs/2);                                                      (76)

Вариант 3 (g₀₀ =  γ ^{-2, M} = M₀γ) 

α(τ)     =  cos(τ_obs);                                                         (77)

α(τ_obs) = 1/ch(τ_obs);                                                        (78)

Для упрощения  выражений  введены  относительные  величины: 

τ ≡ (с/2a₀)t,                                                                   (79)

τ_obs ≡ (с/2a₀)t_obs                                                             (80)

Отсчет τ, τ_obs производится от  момента  максимального расширения  (α =1).

На рис. 4 показана динамика развития Вселенной в системе отсчета центра масс α(τ) и в системе отсчета наблюдателя α(τ_obs). На кривой α(τ_obs) отмечены точки сегодняшнего состояния Вселенной при плотности, равной плотности видимой материи, и при максимальной возможной плотности с учетом темной материи [13]. Рассчитано по ф-ле (68).

Рис. 4. Динамика расширения Вселенной с учетом зависимости масштабного фактора от времени (g₀₀= γ ^-2) и кинетической энергии расширения (M= γM₀)  в разных системах  отсчета. Время выражено в относительных единицах τ ≡ (с/2a₀)t и отсчитывается от момента максимального расширения (α =1). На кривой  α(τ_obs) отмечены  положения сегодняшнего состояния Вселенной при плотности Ω = 3%  (светлый  кружок), и при плотности Ω = 40% (темный  кружок). Крестом отмечена точка перегиба. 

Расширение в системе отсчета наблюдателя происходит по закону гиперболического косеканса, время жизни Вселенной в этой системе отсчета оказывается бесконечным, что снимает целый ряд ограничений, свойственных стандартной модели, и противоречия № 1 и № 2. Полученные из наблюдательных данных значения плотности материи соответствуют закрытой модели Вселенной на этапе ускоренного расширения (ниже точки перегиба α=1/√2), что снимает противоречие № 7.

Время t_obs, отсчитываемое от настоящего момента, с учетом (68),(69),(78),(80) связано с α как: 

t_obs =  (arch 1/α - arch 1/α₀) (Ω₀+1) Ω₀ ^-3/2 H₀^-1;                         (81)

где  t_obs и  α - текущие значения, α₀, Ω₀ и H₀ - фиксированные значения настоящего момента.

Скорости изменения радиуса кривизны в двух системах отсчета даются выражениями.

β_c = da / cdt  =  (1 - α²)^1/2;                                                         (82)

β_obs = da/dt_obs  =  α (1 - α²)^1/2.                                                    (83)

Скорость увеличения радиуса Вселенной в системе координат наблюдателя ни в какой момент времени не превышает половины скорости света, что снимает противоречие № 5. Расширение в системе отсчета наблюдателя, в противоположность стандартной модели, происходит медленно, что снимает «проблему горизонта», которая является одним из оснований создания инфляционных сценариев [7]. Отметим, что в число оснований сценария раздувающейся Вселенной [7] входят и другие рассмотренные  проблемы стандартной модели: 

- «проблема сингулярности»  (вопросы  № 1 и № 2),

- «проблема  плоскостности» [2,7] -  исчезает, т.к. при α -->0  Ω = α²/(1-α²) ≈ α².

- «проблема крупномасштабной однородности и изотропии» - связана с «проблемой горизонта»,

- «проблема  реликтовый монополей» и «проблема реликтовых гравитино» - определяются динамикой развития  и могут иметь в модифицированной модели совершенно иной смысл,

- «проблема  энергии вакуума» или космологической постоянной (вопрос № 7).

Зависимости  β(α) для модифицированной и стандартной моделей  показаны на Рис. 5,6. 

Рис. 5. Относительные скорости изменения радиуса кривизны пространства в модифицированной модели Вселенной, в системах  отсчета  наблюдателя  β_obs и центра масс β_c.  β_с = da/cdt, β_obs = da/cdt _obs.

Рис. 6.  Относительные скорости изменения радиуса кривизны пространства в стандартной модели Фридмана.   β = da/cdt.  

 13.  Заключение

Противоречивость стандартной модели Фридмана связана с тем, что она основана на метрике, построенной в пренебрежении зависимостью масштабного фактора от времени. Учет этой зависимости приводит к модифицированной модели Вселенной, лишенной противоречий и неопределенностей стандартной модели, и характеризуюшейся следующими  особенностями:  

Расширение Вселенной в системе отсчета наблюдателя происходит по закону гиперболического косеканса,  ее время жизни  в этой системе отсчета  оказывается бесконечным, что снимает целый  ряд принципиальных  противоречий и неопределенностей, свойственных стандартной модели, в том числе вопросы о сингулярностии и о том, могло ли что-либо существовать до «Больлшого Взрыва».

Вселенная  является  закрытой при любых значениях плотности материи, что снимает противоречие между наблюдаемой плотностью и теоретической моделью, а также  противоречие между представлением о плоской или открытой Вселенной и возможностью вырезать из любой ее части шар, удовлетворяющий условию самозамыкания по Шварцшильду. Расчетные значения масштабного фактора для возможных значений средней плотности материи составляют от 40  до 400 млн. св. лет., что существенно превышает сегодняшний порог видимости  и  вполне согласуется с  представлением о практически плоском пространстве.

Линейная скорость увеличения масштабного фактора  в системе координат наблюдателя ни в какой момент времени не превышает половины скорости света, что снимает неопределенность в вопросе о возможности удаления  объектов  со скоростями, превышающими скорость света.

Снимаются проблемы,  которые являются основанием сценария раздувающейся Вселенной [7]: 

- «проблема горизонта»

- «проблема сингулярности»;

- «проблема плоскостности», формулируемая как вопрос о причинах точного соответствия плотности материи в ранней Вселенной критическому значению (Ω-->1) и являющаяся основанием «антропного принципа» [2,7] (в модифицированной модели исчезает, т.к. при α -->0   Ω ≈ α²);

- «проблема крупномасштабной однородности и изотропии» - связана с «проблемой горизонта»;

- «проблема реликтовый монополей» и «проблема реликтовых гравитино» - определяются динамикой развития и могут иметь в модифицированной модели иное значение;

- «проблема энергии вакуума» или космологической постоянной, основанная на противоречии стандартной модели с наблюдаемой плотностью и на интерпретации данных об ускоренном расширении (решается в модифицированной модели без введения этих гипотетических субстанций.

18.09.2008

Кудрявцев Юрий Сергеевич

197341,  Санкт-Петербург, Фермское шоссе, д. 36, корп.7, кв. 49.

+7 (812) 303-4354,   juku@bk.ru

 
Литература

1. С. Вейнберг. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности. - М.: "Мир", 1975. с 507, 511.  (Weinberg S., Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the General Theory of Relativity, John Wiley and Sons, Inc., 1972).

2. Краткая история времени: от большого взрыва до черных дыр / Стивен Хокинг. СПб.: Амфора, 2005 - 268 с.  (Stephen W. Hawking. A Brief History of Time From the Big Bang to Black Holes)

 3. А Эйнштейн. Основы общей теории относительности (Die Grunlage der allgemeinen Relativitatstheorie, Ann. d. Phys., 49, 769 (1916)). В кн. «Альберт Эйнштейн и теория гравитации.  Сборник статей». - М.: «Мир», 1979., с. 146-189.

4. Чарльз Ленививер, Тамара Дэвис. Парадоксы Большого Взрыва.  «В мире науки» (Scientific American), 2005, № 7. Космология.

5. astro-ph/0310808 Путаница с расширением: частое непонимание космологических горизонтов и сверхсветовое расширение Вселенной (Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe) Authors: Tamara M. Davis, Charles H. Lineweaver. Comments: To appear in Publications of the Astronomical Society of Australia, 26 pages (preprint format), 6 figures. *

6.  Riess A G et al. Astron. J 116 1009 (1998); Perlmutter S et al. Astrophys. J 517 565 (1999).

7.   А.Д. Линде. Раздувающаяся Вселенная,  УФН, т. 144, № 2, октябрь 1984 г.,   с.178-214.

8. http://www.astronet.ru/db/msg/1174484. A.Д. Чернин. Физический вакуум и космическая анти-гравитация. (Раннюю журнальную версию статьи см. в Успехах Физических Наук, том 171, No. 11, стр. 1153-1174, 2001).

9. Дж. Ф. Смут III. Анизотропия реликтового излучения: открытие и научное значение (Нобелевская лекция. Стокгольм, 8 дек. 2006 г.)., УФН, т. 177, № 12, декабрь 2007 г., с.1294-1317.

10. astro-ph/0305001 Корреляция космического микроволнового излучения с крупномасштабной структурой (A correlation of the cosmic microwave sky with large scale structure). Authors: Stephen Boughn and Robert Crittenden Comments: 8 pages, 3 postscript figures. **

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. II. Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 536 с. ( Landau L.D., Lifshitz E.M. Course of Theoretical Physics: The Classical Theory of Fields. Vol.2.)

12. А Эйнштейн. Вопросы космологии и общая теория относительности (Kosmologishe Betrachungen zur allgemeinen Relativitatstheorie. Sutzungsher preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142-152). В кн. А Эйнштейн, собрание научных трудов, т.1, "Наука", М., 1965, С. 601-612.

13.  Реликтовое излучение Вселенной / П.Д. Насельский,  Д.И. Новиков, И.Д. Новиков. - М.: Наука, 2003. - с. 55.